(3)首先利用的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含的式子.
,
,即.
由,所以,直线与圆面无公共点.所以,
例2.已知定义在R上的函数满足:
(1)值域为,且当时,;
(2)对于定义域内任意的实数,均满足:
试回答下列问题:
(Ⅰ)试求的值;
(Ⅱ)判断并证明函数的单调性;
(Ⅲ)若函数存在反函数,求证:.
讲解:(Ⅰ)在中,令,则有.即:.
也即:.
由于函数的值域为,所以,,所以.
(Ⅱ)函数的单调性必然涉及到,于是,由已知,我们可以联想到:是否有
?(*)
这个问题实际上是:是否成立?
为此,我们首先考虑函数的奇偶性,也即的关系.由于,所以,在中,令,得.
所以,函数为奇函数.故(*)式成立.
所以,.
任取,且,则,故且.所以,
所以,函数在R上单调递减.
(Ⅲ)由于函数在R上单调递减,所以,函数必存在反函数,由原函数与反函数的关系可知:也为奇函数;在上单调递减;且当时,.
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