例2.老师给出一个函数,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:
甲:对于,都有;
乙:在上函数递减;
丙:在上函数递增;
丁:不是函数的最小值.
如果其中恰有三个人说得正确,请写出一个这样的函数:____________.
讲解:首先看甲的话,所谓“对于,都有”,其含义即为:函数的图像关于直线对称.数形结合,不难发现:甲与丙的话相矛盾.(在对称轴的两侧,函数的单调性相反)
因此,我们只需选择满足甲、乙、丁(或乙、丙、丁)条件的函数即可.
如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数,则需要认识到:所谓函数在上单调递减,并不是说函数的单调递减区间只有.考虑到关于直线的对称性,我们不妨构造函数,使之在上单调递减,这样,既不与乙的话矛盾,也满足丁所说的性质.如即可.
如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数,则分段函数是必然的选择.如.
例3.对任意函数,,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①
输入数据,经数列发生器输出;
②
若,则数列发生器结束工作;若,则将反馈回输入端,再输出,并依此规律继续下去.
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