现定义.
(Ⅰ)若输入,则由数列发生器产生数列.请写出数列的所有项;
(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据的值;
(Ⅲ)若输入时,产生的无穷数列满足:对任意正整数n,均有,求的取值范围.
(Ⅳ)是否存在,当输入数据时,该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列.
讲解:(Ⅰ)对于函数,.
若,代入计算可得:,
故产生的数列只有三项.
(Ⅱ)要使数列发生器产生一个无穷的常数数列,实际上是对于任意的正整数,都应该有.又.所以,只需令.
解得:.
由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件,所以,令(或2)即可.此时必有=1(或2).
事实上,相对于本题来讲,(或2)是产生“无穷常数数列”的充要条件(这是因为函数是一一对应).如果把函数换成,请读者思考:有多少个满足条件的初值?
(Ⅲ)要使得对任意正整数n,均有,我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件.即.
事实上,不等式的解为或.(*)
所以,或.
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