(3)如图3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1P⊥PQ.
【答案】(1)90°;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
试题解析:(1)由旋转的性质得:AP=AP1,BP=BP2,∵α=90°,∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形, ∴∠APP1=∠BPP2=45°,∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°;
(2)由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形,∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣α,∴∠P1PP2=180°﹣(∠APP1+∠BPP2)=180°﹣2(90°-α)=α,在△PP2P1和△P2PA中,∠P1PP2=∠PAP2=α,
又∵∠PP2P1=∠AP2P,∴△P2P1P∽△P2PA.
(3)如图,连接QB,∵l1,l2分别为PB,P2B的中垂线, ∴EB=BP,FB=BP2,又BP=BP2,∴EB=FB,在Rt△QBE和Rt△QBF中,,∴Rt△QBE≌Rt△QBF,∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=α, 由中垂线性质得:QP=QB, ∴∠QPB=∠QBE=α,由(2)知∠APP1=90°﹣α, ∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣(90°﹣α)-α=90°,即 P1P⊥PQ.
考点:几何变换综合题.
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