抽象函数型综合问题
题型预测
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识.可以说,这一类问题,是考查学生能力的较好途径,因此,在近年的高考中,这一类题目有增多和分量加重的趋势.
范例选讲
例1.定义在R上的函数满足:对任意实数,总有,且当时,.
(1)试求的值;
(2)判断的单调性并证明你的结论;
(3)设,若,试确定的取值范围.
(4)试举出一个满足条件的函数.
讲解:(1)在中,令.得:
.
因为,所以,.
(2)要判断的单调性,可任取,且设.
在已知条件中,若取,则已知条件可化为:.
由于,所以.
为比较的大小,只需考虑的正负即可.
在中,令,,则得.
∵ 时,,
∴ 当时,.
又,所以,综上,可知,对于任意,均有.
∴ .
∴ 函数在R上单调递减.
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